Η Δέσπω Μιχαηλίδου – Λιβανίου γεννήθηκε το 1952 στη Λεμεσό, πρωτότοκο παιδί του Τιμολέοντα Λιβάνιου από την Αττάλεια Μικράς Ασίας, και της Μαρούλας Πολυβίου από το Βουνί Λεμεσό. Αποφοίτησε από το Πρώτο Γυμνάσιο Θηλέων το 1970 και φοίτησε στη Νομική Σχολή Αθηνών (1970-1975). Άσκησε τη δικηγορία στη Λεμεσό από το 1978 μέχρι το 1989, οπότε και διορίστηκε τις 9/1/1989 Προσωρινός Επαρχιακός Δικαστής στο Επαρχιακό Δικαστήριο Λευκωσίας. Το 1997 προάχθηκε σε Ανώτερο Επαρχιακό Δικαστή και το 2003 σε Πρόεδρο Επαρχιακού Δικαστηρίου. Το χρόνο άσκησης της δικηγορίας διετέλεσε γραμματέας του δικηγορικού συλλόγου Λεμεσού και στη συνέχεια μέλος του συμβουλίου της Ένωσης Δικαστών για σειρά ετών. Από το 2012 μέχρι και το 2019 διετέλεσε μέλος του Ανωτάτου Δικαστηρίου. Στις 3 Οκτωβρίου 2019 διορίστηκε από τον Πρόεδρο της Δημοκρατίας, κο Νίκο Αναστασιάδη, ως Επίτροπος Προστασίας των Δικαιωμάτων του Παιδιού.
Είναι παντρεμένη με το Γιώργο Μιχαηλίδη και έχει τρία παιδιά, τη Δανάη, τη Φωτεινή και τον Δημήτρη.